2.
2021
/
- IV
: 3 :
: - ,
1. ; on
₁
4
6
7
9
13
15
X₂
15
12
8
6
4
3
₃
30
24
20
14
10
4
2.(a) - (b)
'
() :
1
2
3
4
5
1.6
4.5
13.8
40.2
125.0
3.(a) (b)
A, B C
1/3, 1/4 1/5 '
4.(a) ?(b)
3 'X'
2.
; X
() ?
5. n p
6. ? .
7.()
() '
8. ?
2.
2021
/
- IV
: 3 :
: - ,
1. ; on
₁
4
6
7
9
13
15
X₂
15
12
8
6
4
3
₃
30
24
20
14
10
4
:X₂ X₃ X₁
' (X₁)
: (X₂) (X₃) X₁
X₂ X₃ ' ,
-
" " ,
X₂ X₃ X₁
:
• X₁:4, 6, 7, 9, 13, 15
• X₂:15, 12, 8, 6, 4, 3
• X₃:30, 24, 20, 14, 10, 4
X₂ X₃ ' X₁ ,
:
2.
• ( X₁- X₂ = X₃ = 0 )
• ₂ X₂ X₁ , X₃
• ₃ X₃ , X₂
X₁
()
, --
- '
• 3D : (X₂, X₃, X₁) '
• ()
" "
• : - -
1. :
o
:
2. a, b₂, b₃ - :
o ,
:
( ), X₂,
X₃ ; X₁
3. :
o , :
• :
o (16.4776):X₁ X₂ = X₃ = 0 (
,
0 )
2.
o b₂ = 0.3899:X₂ 1 X₁ 0.39 , X₃
o b₃ = −0.6233:X₃ 1 X₁ 0.62 , X₂
' '
- , , , X₂ X₁
, X₃ X₁
X₁ X₂ = 15 X₃ = 30
:
(approximately)
, :
: X₂ X₃ ,
X₁
• b₂ (0.3899):- X₂ ( , X₂
), X₁ , X₃
• b₃ (−0.6233):- X₃ , X₁ , X₂
X₁ '
, X₃ X₂
, X₃ X₂ ( )
X₁ ( )
,
X₁ " ", X₂ " " X₃
" ' "
(X₂)
,
; (X₃) ,
2.
• :
X₂ X₃
( ), X₂ X₃ ' X₁ ,
• : '
, X₂ = 15 X₃ = 30 (
) ,
• : X₂ X₃
(-),
• X₂ X₃ X₁ :
• X₁ :
2.(a) - (b)
'
() :
1
2
3
4
5
1.6
4.5
13.8
40.2
125.0
:(a) -
: X, Y, Z
-
- :
2.
"
?"
:
• X Z Y ?
: "
X Z
,
Y ?"
, - :
" ,
?"
' :
•
Y X Z
,
-
:
"
?"
:
• X Y ?
• Z ?
-
( "" )
: ,
:
•
'
?
-
2.
' :
•
: X Y , Z
,
,
-
-
,
+ve -ve
+ve
'
:
• - =
• =
(b)
"" , -
, , -
:
:
• =
• =
• =
""
:
2.
• 2, 4, 8, 16…
• 5, 10, 20, 40...
?
(-- )
1:
:
2:
?
,
:
:
:
- ? ! -
A B -
3:
:
2.
4:
A B ':
\antilog \antilog
:
!
(c)
:
1
2
3
4
5
1.6
4.5
13.8
40.2
125
:
1:
( 10; ):
ln(y)
1
1.6
0.470
2
4.5
.
3
13.8
2.625
4
40.2
.
5
125
4.828
2.
:
2:
:
• x = 3
• ln(y) ≈ 2.624
:
:
:
3:
:
2.
-
3.(a) (b)
A, B C
1/3, 1/4 1/5 '
:, ,
, , ,
--
, ,
(a)
0 1
( )
• 0
• 1
• -
:
Number of favorable outcomes
Total number of possible outcomes
:
, :
Heads
:
1.
2.
• ' (
), :
or
• '
, :
or and
:
•
•
,
2.
• (
):
and
• , :
and
:
• 6
Heads and 6
()
:
A, B, C '
:
• :
• :
• :
2.
'
1:
, 1
• A =
• B =
• C =
2:
' :
All fail
All fail
3: -
1 :
At least one solves All fail
At least one solves
, 3/5 0.6 (60%)
- , -
, 1/3 , 1/4
, 1/5
' , -
?
• , :
: .
• , 40%
• 60% -
2.
! ' ,
:
• ',
• ',
"- "
• -
1/3
2/3
1/4
3/4
1/5
4/5
All fail
At least one solves
-
•
•
•
: , 60%
,
: ,
,
—
2.
4.(a) ?(b)
3 'X'
; X (c)
?
:(a) -
, ,
, , ,
; -
' ,
:
• →
:Head = 1Tail =
0 " "
: 3
(0, 1, 2, 3)
"" "" :
(PDF)
:
1. - ( 0,1,2,3 )
2. - (
, , , )
,
(PDF)
-
'
" 5.5 " ,
,
, :
• 5.4 5.6
2.
• 5 10
PDF :
1 ( 1 )
, :
(b)
(b)
3 X =
,
3 , : 2 × 2 × 2 = 8
:HHHHHTHTHTHHHTTTTHTTTT
:
• 3 → HHH → X = 3
• 2 → HHT, HTH, THH → X = 2 (3 )
• 1 → HTT, THT, TTH → X = 1 (3 )
• 0 → TTT → X = 0
X : 0, 1, 2, 3
, : 1/8
,
• ( = 0) = 1/8
• ( = 1) = 3/8
• ( = 2) = 3/8
• ( = 3) = 1/8
(PMF)
2.
PMF :
: = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1
(c) -
, , ,
₹1
,
?
, :
, : E(X) = Σ [x × P(x)]
: X ,
, :
X: 0, 1, 2, 3P(X): 1/8, 3/8, 3/8, 1/8
, E(X) = 0×1/8 + 1×3/8 + 2×3/8 + 3×1/8= 0 + 3/8 + 6/8 + 3/8= 12/8= 1.5
3 1.5 ,
"1.5 "
,
1.
,
2.
Y = aX + b, E(Y) = aE(X) + b
:
2.
X Y :
( + ) = () + ()
3.
C :
() =
4. - (- )
X
,
5.
,
, :
•
•
2.
• - ,
•
5. n p
: ?
,
!
:
(n)
: 10 → n = 10
' :
•
• :
• () / ()
• /
• /
(p)
: ' 1/2
:p = q = ,q = 1 − p
:
•
• '
, X = n
:X ~ (n, p)
2.
: "X, n p
"
: "n x
?"
5 2 ?
,
--
:
• n =
• p =
• q = 1 − p =
• X =
• x =
x , (n − x)
x (n − x) :
pˣ × qⁿ⁻ˣ
! -
:
2 ,
:
• ...
• ...
• THH
, n x
:
2.
:
:
• x = 0,1,2,3,...,n
n x
( )
: "
?"
:
Mean
: 40% (p = 0.4), 6
: = np = 6 × 0.4 = 2.4
, 2 3
- -
:
2.
Variance
:
p 0.5 ,
p 0 1 ,
p ' :
✔ p = 0.5 -
✔ p > 0.5 ' ( )
✔ p < 0.5 ' ( )
- n ,
X
X : 0, 1, 2, 3, ..., n
: - = 0 = n
( )
'
, :
:
2.
,
?
/
, :
•
? /
• ? /
• ? /
• ? /
,
6. ?
: : , PDF , MGF
- , ,
- -
,
() :
() () '
(PDF)
•
• ; ,
• 1 ,
:
2.
• : , .
• :
, PDF
( ) , 0 '
:
:
• (, 0) '
• : .
•
,
• , "" ( , , )
,
2.
• ( - ) ,
(MGF)
1:
:
2:
' :
:
:
:
,
:
2.
3:
,
- :
4:
,
MGF ',
:
• : .
• : .
• - ;
• : , , MGF
,
,
2.
(.. )
PDF 170 '
MGF
,
- , -
7.()
() '
:, ,
, :
,
""
(a)
1.
, , ,
• " "
• ( ) (
)
• (μ) (σ²)
:
,
2.
,
2.
•
,
• () (s²)
•
: ,
100
100
• : (" ")
• : (" ")
• ;
•
:
1.
o
o ,
2.
o
o
3.
o
o
4.
o
o ,
'
5.
o ,
6.
o
o -
:
,
, -
( , )
2.
()
:
1. ?
(SE) ( )
•
• : SE " "
:
:
• =
• =
,
()
2.
• : SE
• :SE -
• :SE ( t- z-)
: 100 165 ,
SE = 2 165
, 2
3.
• (n): SE
• (σ): SE
• :, SE
4.
2.
500 ,
20
• 25
•
-
• (25 ) 500
SE ( , 0.5 ),
SE
( , 3 ),
• : ;
• :, , , ,
• :
, ,
,
-
100
, ,
+
SE = 2 ..
,
'
-
, ,
2.
8. ?
: - " ,
"
,
, '
, , ,
✔
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- - " "
, , ' :
•
•
• ,
• -
, , , '
( - )
""
()
, ,
✔
( )
2.
:
'
'
,
, ,
:
=
=
?
:
2000
200
:
• 1 2000
• ' , ,
200OR
• OR
•
, :
,
()
2.
1.
,
,
2.
'
,
3.
: " "
4.
, '
, '
5.
, ,
/
,
1.
,
2.
:
,
?
!
2.
,
,
3.
,
,
4. -
,
:
,
,
:
• '
•
•
•
• '
•
2.
•
•
:
•
•
• '
, ' , ,
"
,
"
